Формула разложения Хевисайда

Пусть изображение функции представляет собой дробно-рациональную функцию.

Теорема. Пусть, где и - дифференцируемые функции. Введем как полюсы функции, т.е. корни (нули) ее знаменателя. Тогда, если, получим формулу Хевисайда:

Доказательство проведем для случая, когда и - многочлены степеней т и п соответственно, при этом т п . Тогда - правильная рациональная дробь. Представим в виде суммы простейших дробей:

Отсюда Коэффициенты найдем из тождества (17.2), переписав его в виде

Умножим обе части последнего равенства на и перейдем к пределу при. Учитывая, что и, получим

откуда и следует (17.1). Теорема доказана.

Замечание 1. Если коэффициенты многочленов и вещественны, то комплексные корни многочлена попарно сопряжены. Следовательно, в формуле (17.1) комплексно сопряженными величинами будут слагаемые, соответствующие комплексно сопряженным корням многочлена, и формула Хевисайда примет вид

где первая сумма распространена на все вещественные корни многочлена, вторая - на все его комплексные корни с положительными мнимыми частями.

Замечание 2. Каждый член формулы (17.1) представляет собой записанное в комплексной форме колебание, где. Таким образом, вещественным корням () соответствуют апериодические колебания, комплексным корням с отрицательными вещественными частями - затухающие колебания, чисто мнимым корням - незатухающие гармонические колебания.

Если знаменатель не имеет корней с положительными вещественными частями, то при достаточно больших значениях получим установившийся режим:

Чисто мнимые корни многочлена с положительными мнимыми частями.

Колебания, соответствующие корням с отрицательными вещественными частями, экспоненциально затухают при и поэтому не входят в установившийся режим.

Пример 1. Найти оригинал изображения

Решение. Имеем. Выпишем корни многочлена: .

По формуле (17.1)

Здесь, так как числа - корни уравнения. Следовательно,

Пример 2. Найти оригинал изображения

где а 0; .

Решение. Здесь функция, помимо очевидного корня, имеет бесконечно много корней, являющихся нулями функции. Решая уравнение, получим, откуда

Таким образом, корни знаменателя имеют вид и, где

По формуле (17.3) находим оригинал

Операторный метод решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения. Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения

(здесь) с начальными условиями

Переходя в (18.1) к изображениям, в силу линейности преобразования Лапласа будем иметь

Изображения производных, используя теорему 3 § 16 и начальные условия (18.2), запишем в виде

Подставив (18.4) в (18.3), после несложных преобразований получим операторное уравнение

где (характеристический многочлен); .

Из уравнения (18.5) найдем операторное решение

Решением задачи Коши (18.1), (18.2) является оригинал операторного решения (18.6):

Для задачи Коши в принятых обозначениях можно записать

Операторное уравнение имеет вид

разложим операторное решение на простейшие дроби:

С помощью формул, полученных в § 15, получим оригиналы:

Таким образом, решение задачи Коши будет иметь вид

Пример 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с начальными условиями, где.

Решение.

Его решение имеет вид

Используя теорему 2 § 16, последовательно найдем:

Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с нулевыми начальными условиями, где - ступенчатая импульсная функция.

Решение. Запишем операторное уравнение

и его решение

Из теоремы 2 § 16 следует

в соответствии с теоремой запаздывания (§ 15)

Окончательно,

Пример 3. На точку массой т , прикрепленную к пружине жесткостью с и находящуюся на гладкой горизонтальной плоскости, действует периодически меняющаяся сила. В момент времени точка подверглась удару, несущему импульс. Пренебрегая сопротивлением, найти закон движения точки, если в начальный момент времени она покоилась в начале координат.

Решение. Уравнение движения запишем в виде

где - упругая сила; - функция Дирака. Решим операторное уравнение

Если (случай резонанса), то

По теореме запаздывания

Окончательно,

Интеграл (формула) Дюамеля. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (18.1) при начальных условиях. Операторное решение в этом случае имеет вид

Пусть весовая функция - оригинал для. тогда по теореме 1 § 16 получим

Соотношение (18.7) называется интегралом (формулой) Дюамеля.

Замечание. При ненулевых начальных условиях формула Дюамеля непосредственно неприменима. В этом случае необходимо предварительно преобразовать исходную задачу к задаче с однородными (нулевыми) начальными условиями. Для этого введем новую функцию, полагая

где - начальные значения искомого решения.

Как легко видеть, и следовательно, .

Таким образом, функция - решение уравнения (18.1) с правой частью, полученной в результате подстановки (18.8) в (18.1), при нулевых начальных данных.

Используя (18.7), найдем и.

Пример 4. С помощью интеграла Дюамеля найти решение задачи Коши

с начальными условиями.

Решение. Начальные данные ненулевые. Полагаем, в соответствии с (18.8), . Тогда, и для определения получим уравнение с однородными начальными условиями.

Для рассматриваемой задачи характеристический многочлен, весовая функция. По формуле Дюамеля

Окончательно,

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений в матричной записи имеет вид

где - вектор искомых функций; - вектор правых частей; - матрица коэффициентов; - вектор начальных данных.

Рассмотрим операционный метод решения дифференциальных уравнений на примере уравнения третьего порядка.

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами

удовлетворяющее начальным условиям:

с 0, с 1 , с 2 - заданные числа.

Пользуясь свойством дифференцирования оригинала, запишем:

В уравнении (6.4.1) перейдем от оригиналов к изображениям

Полученное уравнение называют операторным или уравнением в изображениях. Разрешают его относительно Y.

Алгебраические многочлены от переменной р.

Равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (6.4.1).

Находя оригинал y(t) , соответствующий найденному изображению получаем частное решение дифференциального уравнения.

Пример: методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Перейдем от оригиналов к изображениям

Запишем исходное уравнение в изображениях и решим его относительно Y

Чтобы найти оригинал полученного изображения, знаменатель дроби разложим на множители и запишем полученную дробь в виде суммы простейших дробей.

Найдем коэффициенты А, В, и С .

Пользуясь таблицей запишем оригинал полученного изображения

Частное решение исходного уравнения.

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Неизвестные функции.

Переходим к изображениям

Получаем систему изображающих уравнений

Решаем систему методом Крамера. Находим определители:

Находим решение изображающей системы X(p), Y(p) , Z(p).

Получили искомое решение системы

С помощью операционного исчисления можно находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных; вычислять интегралы. При этом решение задач значительно упрощается. Применяется при решении задач уравнений математической физики.

Вопросы для самоконтроля.

1. Какая функция называется оригиналом?

2. Какая функция называется изображением оригинала?

3. Функция Хевисайда и ее изображение.

4. Получить изображение для функций оригиналов, пользуясь определением изображения: f(t) =t , .

5. Получить изображения для функций , пользуясь свойствами преобразований Лапласа.

6. Найти функции оригиналы, пользуясь таблицей изображений: ;

7. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения методами операционного исчисления.

Литература: стр. 411-439, стр. 572-594.

Примеры: стр. 305-316.

ЛИТЕРАТУРА

1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 –х ч. Ч. I: Учеб. пособие для втузов./П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – М.: Высш. шк., 1997.– 304с.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 –х ч. Ч. II: Учеб. пособие для втузов./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – М.: Высш. шк., 1997.– 416с.

3. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Часть 4./ И.А. Каплан - Издательство Харьковского государственного университета, 1966 г., 236 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х томах, том 1: учеб. пособие для втузов./ Н.С. Пискунов – М.: изд. «Наука», 1972 .– 456 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2-х томах, том 2: учеб. Пособие для втузов../ Н.С. Пискунов –М.: изд. «Наука»,1972 .– 456 с.

6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс.–4-е изд./ Д.Т. Письменный –М.: Айрис-пресс, 2006.–608 с. – (Высшее образование).

7. Слободская В.А. Краткий курс высшей математики. Изд. 2-е, переработ. и доп. Учеб. пособие для втузов./ В.А. Слободская – М.: Высш. шк., 1969.– 544с.

© Ирина Александровна Драчева

Конспект лекций Высшая математика

для студентов направления 6.070104 «Морской и речной транспорт»

специальности «Эксплуатация судовых энергетических установок»

дневной и заочной формы обучения 2 курс

Тираж______экз. Подписано к печати ______________

Заказ №__________. Объем__2,78__п.л.

Изд-во «Керченский государственный морской технологический университет»

98309 г. Керчь, Орджоникидзе, 82

Операционное исчисление в настоящее время стало одной из важнейших глав практического математического анализа. Операционный метод непосредственно используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко – Захарченко и А. В. Летникова.

Операционное исчисление обратило на себя внимание после того, как английский инженер-электрик Хевисайд, используя символическое исчисление, получил ряд важных результатов. Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями.

Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f ( t ) переходят к уравнению относительно другой функции F ( p ), называемой изображением f ( t ) . Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F ( p ) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения.

Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией – сложением.

Так же как и при логарифмировании, при использовании операционного метода нужны:

1) таблица оригиналов и соответствующих им изображений;

2) знание правил выполнения операций над изображением, соответствующих действиям, производимым над оригиналом.

§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу

Определение 1 .Будем действительную функцию действительного аргумента f (t ) называть оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям:

1) f (t ) 0 , при t 0

2) f ( t ) возрастает не быстрее некоторой показательной функции

3) На любом конечном отрезке a , b положительной полуоси Ot функция f (t ) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е.

a) ограничена,

b) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода,

c) имеет конечное число экстремумов.

Функции, удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении изображаемыми по Лапласу или оригиналами .

Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда

Если функция

Интегралом Лапласа для оригинала f (t ) называется несобственный интеграл вида

Теорема.

Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости

Заметим, что по определению оригинала

Вычислим этот интеграл:

То есть получаем что F (p ) существует при

Замечание . Из доказательства теоремы следует оценка:

Определение 2 . Изображением по Лапласу функции f (t ) называется функция комплексного переменного p = s + i σ, определяемая соотношением

Тот факт, что функция F (t ) является изображением оригинала f (t ), символически это записывается так:

§2. Основные теоремы операционного исчисления

2.1 Свертка оригиналов.

Сверткой оригиналов

Функции f (t ) и g (t ) называются компонентами свертки .

Найдем для примера свертку произвольного оригинала

Теорема 1. Если

На дворе знойная пора, летает тополиный пух, и такая погода располагает к отдыху. За учебный год у всех накопилась усталость, но ожидание летних отпусков/каникул должно воодушевлять на успешную сдачу экзаменов и зачетов. По сезону тупят, кстати, и преподаватели, поэтому скоро тоже возьму тайм-аут для разгрузки мозга. А сейчас кофе, мерный гул системного блока, несколько дохлых комаров на подоконнике и вполне рабочее состояние… …эх, блин,… поэт хренов.

К делу. У кого как, а у меня сегодня 1 июня, и мы рассмотрим ещё одну типовую задачу комплексного анализа – нахождение частного решения системы дифференциальных уравнений методом операционного исчисления . Что необходимо знать и уметь, чтобы научиться её решать? Прежде всего, настоятельно рекомендую обратиться к уроку. Пожалуйста, прочитайте вводную часть, разберитесь с общей постановкой темы, терминологией, обозначениями и хотя бы с двумя-тремя примерами. Дело в том, что с системами диффуров всё будет почти так же и даже проще!

Само собой, вы должны понимать, что такое система дифференциальных уравнений , что значит найти общее решение системы и частное решение системы.

Напоминаю, что систему дифференциальных уравнений можно решить «традиционным» путём: методом исключения или с помощью характеристического уравнения . Способ же операционного исчисления, о котором пойдет речь, применим к системе ДУ, когда задание сформулировано следующим образом:

Найти частное решение однородной системы дифференциальных уравнений , соответствующее начальным условиям .

Как вариант, система может быть и неоднородной – с «довесками» в виде функций и в правых частях:

Но, и в том, и в другом случае нужно обратить внимание на два принципиальных момента условия:

1) Речь идёт только о частном решении .
2) В скобочках начальных условий находятся строго нули , и ничто другое.

Общий ход и алгоритм будет очень похож на решение дифференциального уравнения операционным методом . Из справочных материалов потребуется та же таблица оригиналов и изображений .

Пример 1

, ,

Решение: Начало тривиально: с помощью таблицы преобразования Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. В задаче с системами ДУ данный переход обычно прост:

Используя табличные формулы №№1,2, учитывая начальное условие , получаем:

Что делать с «игреками»? Мысленно меняем в таблице «иксы» на «игреки». Используя те же преобразования №№1,2, учитывая начальное условие , находим:

Подставим найденные изображения в исходное уравнение :

Теперь в левых частях уравнений нужно собрать все слагаемые, в которых присутствует или . В правые части уравнений необходимо «оформить» все остальные слагаемые:

Далее в левой части каждого уравнения проводим вынесение за скобки:

При этом на первых позициях следует разместить , а на вторых позициях :

Полученную систему уравнений с двумя неизвестными обычно решают по формулам Крамера . Вычислим главный определитель системы:

В результате расчёта определителя получен многочлен .

Важный технический приём! Данный многочлен лучше сразу же попытаться разложить на множители. В этих целях следовало бы попробовать решить квадратное уравнение , но, у многих читателей намётанный ко второму курсу глаз заметит, что .

Таким образом, наш главный определитель системы:

Дальнейшая разборка с системой, слава Крамеру, стандартна:

В итоге получаем операторное решение системы :

Преимуществом рассматриваемого задания является та особенность, что дроби обычно получаются несложными, и разбираться с ними значительно проще, нежели с дробями в задачах нахождения частного решения ДУ операционным методом . Предчувствие вас не обмануло – в дело вступает старый добрый метод неопределённых коэффициентов , с помощью которого раскладываем каждую дробь на элементарные дроби:

1) Разбираемся с первой дробью:

Таким образом:

2) Вторую дробь разваливаем по аналогичной схеме, при этом корректнее использовать другие константы (неопределенные коэффициенты):

Таким образом:

Чайникам советую записывать разложенное операторное решение в следующем виде:
– так будет понятней завершающий этап – обратное преобразование Лапласа.

Используя правый столбец таблицы, перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Согласно правилам хорошего математического тона, результат немного причешем:

Ответ:

Проверка ответа осуществляется по стандартной схеме, которая детально разобрана на уроке Как решить систему дифференциальных уравнений? Всегда старайтесь её выполнять, чтобы забить большой плюс в задание.

Пример 2

С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи и ответ в конце урока.

Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений алгоритмически ничем не отличается, разве что технически будет чуть сложнее:

Пример 3

С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Решение: С помощью таблицы преобразования Лапласа, учитывая начальные условия , перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Но это ещё не всё, в правых частях уравнений есть одинокие константы. Что делать в тех случаях, когда константа находится сама по себе в полном одиночестве? Об этом уже шла речь на уроке Как решить ДУ операционным методом . Повторим: одиночные константы следует мысленно домножить на единицу , и к единицам применить следующее преобразование Лапласа:

Подставим найденные изображения в исходную систему:

Налево перенесём слагаемые, в которых присутствуют , в правых частях разместим остальные слагаемые:

В левых частях проведём вынесение за скобки, кроме того, приведём к общему знаменателю правую часть второго уравнения:

Вычислим главный определитель системы, не забывая, что результат целесообразно сразу же попытаться разложить на множители:
, значит, система имеет единственное решение.

Едем дальше:



Таким образом, операторное решение системы:

Иногда одну или даже обе дроби можно сократить, причём, бывает, так удачно, что и раскладывать практически ничего не нужно! А в ряде случаев сразу получается халява, к слову, следующий пример урока будет показательным образцом.

Методом неопределенных коэффициентов получим суммы элементарных дробей.

Сокрушаем первую дробь:

И добиваем вторую:

В результате операторное решение принимает нужный нам вид:

С помощью правого столбца таблицы оригиналов и изображений осуществляем обратное преобразование Лапласа:

Подставим полученные изображения в операторное решение системы:

Ответ: частное решение:

Как видите, в неоднородной системе приходится проводить более трудоёмкие вычисления по сравнению с однородной системой. Разберём еще пару примеров с синусами, косинусами, и хватит, поскольку будут рассмотрены практически все разновидности задачи и большинство нюансов решения.

Пример 4

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями ,

Решение: Данный пример я тоже разберу сам, но комментарии будут касаться только особенных моментов. Предполагаю, вы уже хорошо ориентируетесь в алгоритме решения.

Перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Подставим найденные изображения в исходную систему ДУ:

Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.

Полученный многочлен не раскладывается на множители. Что делать в таких случаях? Ровным счётом ничего. Сойдёт и такой.

В результате операторное решение системы:

А вот и счастливый билет! Метод неопределённых коэффициентов использовать не нужно вообще! Единственное, в целях применения табличных преобразований перепишем решение в следующем виде:

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Подставим полученные изображения в операторное решение системы: